Ecuación de Bernoulli

En un flujo la suma de la presión, la energía cinética por unidad de volumen y la energía potencial gravitacional por unidad de volumen, se mantiene constante, a lo largo de una línea de corriente.

En la figura, se muestra un tubo cuyos extremos I y II se encuentran a las alturas h1 y h2, respectivamente, con respecto al nivel de referencia. en el tubo se ha sombreado un sector de igual volumen en cada uno de los extremos y suponiendo que el líquido es incompresible tenemos que los dos volúmenes son de igual masa.

Supongamos que el líquido fluye del extremo I al extremo II, siendo la velocidad del fluido en el extremo I igual a V1, el área de dicho extremo del tubo A1 y la altura con respecto al nivel de referencia h1. En el extremo II, la altura con respecto al nivel de referencia h2, la velocidad del fluido es V2 y el área es A2.

Puesto que la velocidad cambia, debemos considerar que cada porción de líquido que se mueve a través del tubo experimenta aceleración y, en consecuencia, concluimos que se ejerce fuerza sobre él.

Llamemos F1 a la fuerza que actúa sobre el volumen inferior sombreado y P1 a la presión del líquido en el extremo I, F2 a la fuerza que actúa sobre el volumen superior sombreado y P2 a la presión del líquido en el extremo II.

Tenemos entonces:

por tanto ,

 

Si en el extremo I, el desplazamiento del fluido durante un intervalo de tiempo es Δs1 y en el extremo II el desplazamiento es Δs2, tenemos que el trabajo efectuado sobre la porción del fluido es: 

Es decir, 

Como tenemos que el volumen de la porción de liquido en los extremos es el mismo, entonces: 

Por ende, 

De acuerdo con el principio de conservación de la energía, tenemos: 

Por tanto, para una porción de liquido de masa m se tiene que: 

A partir de la definición de densidad tenemos que: 

Entonces, 

De donde: 

Esta ecuación, enunciada por el matemático y físico suizo Daniel Bernoulli, se conoce como ecuación de Bernoulli y para diferentes puntos del tubo se cumple que: 

A partir de la ecuación de Bernoulli se tiene que si un fluido fluye siempre a la misma altura, en los puntos en los cuales la velocidad es mayor, la presión es menor. A partir de este resultado se explica el movimiento curvo, que describe en algunos casos un balon de futbol. 

Cuando el balón gira, arrastra consigo una fina capa de aire por efecto de la fricción y, como simultáneamente, el balón se traslada, el flujo de aire se produce en la dirección indicada por las lineas de flujo, teniendo que la velocidad del aire respecto al balón es mayor a un lado que al otro. De acuerdo con la ecuación de Bernoulli en la región de mayor velocidad, en la cual las lineas de flujo están mas cerca entre sí, la presión es menor que en la región de menor velocidad. Por consiguiente, el balón experimenta fuerza y se desvía de su trayectoria recta. 

Ejemplo

 

El agua contenida en un tanque elevado puede fluir por una tubería que está provista de una válvula a 12m por debajo del nivel del agua en el tanque.  

Si la presión atmosférica es 101.325Pa, determinar:

1. La presión en la válvula cuando está cerrada. 
2. La presión en la válvula cuando está abierta y la velocidad con la cual el agua atraviesa la válvula.